3.4 전체 시스템의 진동 응답

Total System Response to Vibration

 

설명한 바와 같이 이것은 시스템이 주어진 가진에 어떻게 응답할 것인가를 결정하는 강성, 질량(관성) 및 감쇠의 구속력의 조합된 결과이다. 수학적으로는 그 관계를 다음과 같이 쓸 수 있다.

mx" + Cx' + Kx =

여기서 x" = 진동 가속도 = -xω2sinωt

x' = 진동 속도 = xωcos wt

x = 진동 변위

F = 불평형에 의한 가진력

ψ = 가진력과 실제 진동간의 위상각

위식을 간단히 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

가진력 = 강성력 + 관성력 + 감쇠력

다시 말하면 가진력은 강성, 질량(관성) 및 감쇠의 구속력과 항상 평형을 이룬다. 물론 가진력에 의한 진동진폭은 강성, 질량 및 감쇠량의 조합한 효과에 따라 다르다. 그리고 이 3가지 구속력들중 어느 하나의 증가는 진동진폭의 감소를 가져올 것이 분명하다. 그러나 실제로는 이 구속력들이 함께 작용하지 않는다. 이를 설명하기 위해서는 질량(관성)력은 가속도에 비례하고 반면에 강성은 변위에 비례함을 알아야 한다. 앞의 식과 그림 3-13의 진동 파형으로부터 변위 정점 (+)과 가속도 정점 (+)은 실제로 180° 위상차가 있음을 알 수 있다. 그 결과 강성과 질량(관성)의 정적인 힘은 실제로 180° 위상차가 있어 서로 상쇄하려고 한다. 이것으로 보면 감쇠는 속도비례 함수이고 속도는 Cosine 함수이므로 감쇠력은 강성 및 관성 모두에 실제로 90° 위상차가 있다.

종합해 보면 강성, 질량(관성) 및 감쇠의 구속력들은 그림 3-14에 나타낸 바와 같이 벡터량으로 간주되어야 한다. 주어진 가진력으로부터의 진동진폭을 제어할 수 있는 전체 정적인 힘은 산술적인 합이 아니고 강성, 질량 및 감쇠의 벡터합이다.

그림 3-14의 예를 보면 강성력은 3가지 힘중 가장 큰 것이 분명하다. 다시 말하면 이 시스템에서 진동은 시스템의 강성에 의해서 주로 제어되고 있다. 이런 사실을 모르고 진동을 줄이려고 질량을 증가시킬 것을 결정하였다면 그 결과는 진동의 증가를 가져왔을 것이다.

그림 3-13 변위(강성)와 가속도(질량)의 정점은 180° 위상차가 있고 속도(감쇠)
정점은 변위와 가속도와 90° 위상차가 있다.

그림 3-14 강성, 질량 및 감쇠는 벡터량이며 탁월한 제어력은 강성이다

또 하나의 중요한 사실은 유효 진동수(ω)는 여러 구속력들의 크기를 가지고 있다는 것이다. 강성은 오직 변위(x)에만 비례하며 따라서 강성력은 가진력의 진동수에 의해 크게 영향을 받지 않는다는 것을 알 수 있다. 다시 말하면 강성력은 진동주파수와 관계없이 일정하다. 한편 관성력은 진동주파수의 제곱에 비례하는 진동 가속도에 비례한다. 다시 말하면 불평형력과 같은 관성력은 진동주파수의 제곱에 따라 증가한다. 그림 3-15는 진동주파수와 강성의 크기와 관성력간의 관계를 보여준다.

그림 3-15 관성력은 진동주파수의 제곱에 비례하여 증가하고, 반면에
강성은 본래 주파수와는 무관하다.

그림 3-15에서 관성력이 가진력 주파수의 제곱에 비례하여 증가할 때 관성력과 강성력이 크기가 같은 특정 주파수가 있음을 알 수 있다. 그리고 강성과 관성의 구속력이 180° 위상차가 있기 때문에 그들은 실제로 서로 상쇄된다. 결국 강성력과 관성력이 같아져 서로 상쇄되는 주파수에서 그 시스템은 본질적으로 강성과 관성의 구속력을 잃게 된다. 그 결과 주어진 가진력에 대해서 그 시스템은 억제하도록 하는 감쇠력만을 가지는 이 특정 주파수에서 상당히 높은 진동진폭을 나타낼 것이다. 그림 3-16은 진동 주파수의 함수로써 진동진폭으로 환산하여 시스템의 응답을 보여주고 있다.

그림 3-16 가장 높은 진동진폭은 강성과 관성이 같아지는 주파수에서 발생한다.

강성 및 관성력이 크기가 같고 가장 높은 진동진폭이 발생하는 진동주파수를 공진 주파수라고 한다. 고유 및 임계 주파수란 용어는 공진과 동의어이지만 임계란 용어는 통상적으로 회전체의 고유 주파수와 같을 때 사용된다.

그림 3-16에서 감쇠가 낮은 시스템은 공진시 커다란 진동 진폭을 나타냄을 볼 수 있다. 높은 감쇠를 가지는 시스템은 공진 주파수에서 낮은 진폭을 가지지만 공진점 이상의 주파수에서는 보다 높은 진폭을 가지게 된다.

 

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