3.4 회전 불평형에 대한 감쇠 시스템의 응답

Response of a Damped System under Rotating Unbalance

 

회전기계의 불평형은 진동의 주요 원인중의 하나이다. 이와 같은 기계의 단순모델이 그림 8-33에 나타나있다.

그림 8-33 회전 불평형 질량

 

이 기계의 총질량은 M이고 2개의 편심질량 m /2이 일정 각속도 ω로 서로 반대방향으로 회전하고 있다. 각 질량으로 인한 원심력 는 질량 M을 가진 시키는 원인이 된다. 2개의 동등 질량 m /2이 서로 반대 방향으로 회전하게 함으로써 두 질량의 원심력의 수평방향 분력은 서로 상쇄된다. 그러나, 원심력의 수직분력은 서로 합해진다. 만약 질량의 각도의 시작점이 수평 위치로부터 시작한다면 원심력의 총 수직 분력은 가 된다.

운동방정식은 다음과 같이 유도된다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (122)

이 방정식의 해는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (123)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (124)

이라 하면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (125)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (126)

각각의 ζ값에 대한 MΧ/ m e의 r에 대한 변화는 그림 8-34에 나타나 있다.

그림 8-34 주파수비 r에 대한

 

다음의 결과는 식 (125)와 그림 8-33으로부터 구해진 것이다.

① 모든 곡선이 0의 진폭으로부터 시작한다. 공진 부근의 진폭은 감쇠에 의해 현저하게 영향을 받는다. 그래서 만약 기계가 공진부근에서 운전된다면 감쇠는 위험한 크기의 진폭을 피하기 위해 충분히 고려되어야만 한다.

② 아주 높은 속도에서는는 거의 1이 되고 감쇠 효과는 거의 무시된다.

의 최대값은

일 때이며

이 r값은 항상 1보다 크다.

피크 값은 공진에서의 값 (r>1)의 오른쪽에 나타난다.

[예제] 어떤 변속 전동기가 고정자와 회전자 사이의 반경 방향 간극이 1 ㎜이며 회전자의 질량은 25 ㎏이고 5 ㎏-㎜의 불평형량을 갖고 있다. 회전자는 그 베어링 사이의 중간에서 축위에 설치되어 있다. 두 베어링 사이의 거리는 2 m 이다. 이 기계의 운전속도는 600 rpm으로부터 6000 rpm까지 변화한다. 주어진 운전속도 범위내에서 로터는 항상 고정자와 접촉하지 않도록 하는 축의 직경을 결정하라. 감쇠는 무시한다.

[해]

회전 불평형으로 인한 축의 최대 진폭은

(127)

로부터 구해진다. 여기서 me = 5 ㎏-㎜, M = 25 ㎏, X 의 제한값은 = 1 ㎜이다.

ω = 600 rpm일 때

ω = 6000 rpm일 때

시스템의 고유진동수는 k 의 단위가 N/m라면

ω = 20π rad/sec에 대해

ω = 200π rad/sec에 대해

이 되도록 축을 제작함으로써 회전축의 진동진폭을 최소화할 수 있다. 그러므로, ω에 비해이 작도록 해야하며, 그러기 위해서는 k 도 작아야만 한다. k 를을 선택함으로써 앞에서 언급한 사항들을 만족할 수 있음을 알게된다. 중앙부하를 단순히 지지하고 있는 보의 강성은

 

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