3.3 조화가진에 대한 감쇠 시스템의 응답

Response of a Damped System under Harmonic Force

 

외력함수가 로 주어지면 운동 방정식은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (107)

식 (107)의 특수해는 역시 조화적이라고 예상되며 다음과 같은 형태를 가진다고 가정한다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (108)

Χ와 ψ는 결정되어야 할 상수이며, 각각 응답의 진폭과 위상각을 나타낸다.

식 (108) 및 식 (107)에 대입하면

- - - - - - - - - - - - - - - - - (109)

삼각법의 관계식을 이용하여

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (110)

가 되며 식 (109)를 위의 관계식을 이용하여 전개하면

식 (110)을 cosω t 및 sinω t 항으로 정리하고 식 (109)와 비교하여 정리하면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (111)

이 된다. 앞에서 구한 2개의 방정식에 대해 cosωt나 sinωt의 상수항을 같다고 놓으면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (112)

행렬식으로 맞추기 위해 앞의 두 식을 순서가 맞도록 조정하면

가 된다.

x 항을 정리하고 나면

가 된다. 앞의 두 식을 행렬식으로 표현하면

로 된다.

위의 행렬식을 풀면

이 되고

로부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (113)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (114)

식 (113)과 식 (114)을 식 (115)에 대입하면

- - - - - - - - - - (115)

그림 8-30은 가진함수와 정상상태의 응답을 전형적인 그래프로 보여준다.

그림 8-30 가진함수와 그 응답의 그래프형태로 표현

식 (113)의 분모와 분리를로 나누고 다음 식을 대입하면

= 비감쇠 고유진동수

= 가진력 에 의한 정적변위

식 (113)을 변경하여

= 주파수비로 나타내면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (116)

가 된다. 같은 방법으로

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (117)

는 확대계수(Magnification Factor), 증폭계수(Amplification Factor) 혹은 확대비라고 한다. 및 ψ의 주파수비 r 및 감쇠비 ζ에 대한 변화가 그림 8-31에 나타나있다.

그림 8-31 주파수비 r에 따른 X 와 ψ의 변화

 

다음의 결과가 식 (116), 식 (117) 및 그림 8-31로부터 구해졌다.

① 부족감쇠계(ζ=0)에 대해 위상각 ψ=0가되고 식 (117)은

로 된다.

② 감쇠는 가진주파수의 모든 값에 대해 확대비를 감소시킨다.

③ 감쇠의 존재하에서 증폭비의 감소는 공진부근에서 매우 중요하다.

④ 감쇠가 존재하는 상태에서 최대 증폭비는 혹은 에서 나타나며 이는 비감쇠 고유진동수과 감쇠 고유진동수 보다 더 낮은 주파수이다.

최대 확대비가 나타나는 주파수비를 찾기 위해서 식 (116)을 r에 대해 미분하고 좌변을 0으로 놓으면

(-항은 무시함)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (118)

가 된다.

⑤ X 의 최대값 (에서) 은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (119)

이다.

에서의 X값은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (120)

식 (119)은 시스템에 존재하는 감쇠 측정에 있어서 실험적 결정을 할 때에 사용할 수 있다. 진동 측정에 있어서 만약, 응답의 최대 진폭 가 측정된다면 시스템의 감쇠비는 식 (119)을 사용함으로써 구할 수 있다. 역으로 만약 감쇠량을 알고 있다면 진동의 최대 진폭을 계산할 수 있다.

에 대해 그림 8-31의 X 는 최대값이 없다. 그 이유는 식 (118)에서 ζ값이보다 큰 경우에는 가 허수가 되기 때문에 모든 값의 ω에 대해 최대값 혹은 피크값이 없다.

감쇠가 감소함에 따라는 ω에 접근하며 일반적인 비감쇠 공진조건이 된다는 것을 주목해야 한다. ζ가 0에서 증가함에 따라 그림 8-31에서의 선도는 수직선 r=1에서 점점 더 왼쪽으로 떨어져서 피크를 가진다. 결국 감쇠비가 보다 커지면 의 최대값은 에서 일어난다. 많은 경우에 ζ는 작으므로 값은 1에 매우 가깝게 된다. 따라서 비감쇠 공진조건 (즉, )이 부족감쇠인 경우에도 공진에 대해 종종 사용된다. 예를 들면 ζ=0.1에 대해 비감쇠 고유진동수가 200 ㎐인 어떤 시스템은 198 ㎐의 피크값을 가지며 이것은 1%의 오차 보다 작다( 대신 ). 따라서, 피크에 해당하는 주파수 값을 종종 단순히 고유진동수로 취할 때가 있다.

⑦ 위상각은 시스템의 변수 m , c 및 가 외력 주파수 ω에 따라 좌우되나 외력함수의 진폭 Fo와는 무관하다.

⑧ 응답 (t) 혹은 X가 외력함수 F(t) 혹은 Fo에 대해 지연되어 나타나는 위상각 ψ는 의 값이 작을 때는 대단히 적다.

의 값이 상당히 클 때는 위상각은 점차로 180˚에 접근한다. 그러므로 진동 진폭은 <<1일 때 가진력에 대해 동위상(in-phase)이고 >>1일 때는 역위상(Out of Phase)이다. 공진에서의 위상각은 모든 감쇠치에 대해 90˚이다.

⑨ 공진이하에서는 위상각은 감쇠가 증가함에 따라 증가한다.

공진이상에서는 위상각은 감쇠가 증가함에 따라 감소한다.

공진과 관련한 또 하나의 중요한 현상은 가진력과 이로 인한 진동간의 위상 관계(위상각)의 변화이다. 공진 주파수 이하에서 탁월한 구속력은 강성임이 분명하다. 환언하면 강성은 진동에 대항하는 주요한 힘이다. 그 결과 공진주파수 이하에서 발생하는 진동에 대해서는 강성력이 실제 진동 운동과 180˚ 위상차가 있음을 가정할 수 있다. 그러나 공진주파수 이상의 높은 주파수에서는 관성이 탁월한 구속력이 됨이 분명하다. 따라서 공진주파수 이상에서 발생하는 진동에 대해서는 관성력은 진동 운동과 180˚ 위상차가 있어야 한다. 그리고 그 결과는 시스템이 공진을 통과할 때나 그 시스템이 강성에 의해 주로 제어되는 상태로부터 관성에 의해 주로 제어되는 상태로 변화할 때 가진력과 실제 진동간의 위상각 관계에서 180˚ 변화가 있음이 틀림없다. 환언하면 공진 이하의 주파수에서 발생하는 진동에서는 기계의 진동 운동은 가진력과 동상이고 공진주파수 이상에서 발생하는 진동주파수에서는 기계의 진동 운동은 가진력과 역상(180˚ 위상차)이다.

그림 8-31은 고저 감쇠 시스템에서 진동주파수 함수로써 위상 관계의 변화를 나타내고 있다. 상당히 낮은 감쇠 시스템에서 180˚ 위상 변화는 대단히 작은 주파수 범위에서 발생할 수 있음을 기억하라. 또한 그림 8-31에서 정확히 공진 주파수에서 발생하는 위상 변화는 90˚임을 알 수 있다.

가진력과 이로 인한 진동 운동간의 위상 관계의 이러한 변화의 중요성은 축이 공진점, 그 이하 및 그 이상에서 운전할 때 불평형, 축진동 및 처짐의 영향을 나타내는 그림에서 잘 보여주고 있다. 임계 속도 이하의 속도에서 운전할 때 축은 주로 강성에 의해 제어되며 불평형력에 의해서는 상당히 작은 굽힘을 나타낸다. 실제로 임계속도 이하에서 운전할 때 축은 강성 로터로 간주된다. 그러나 임계속도 이상에서 운전할 때는 관성이 주요한 제어력이 되며 강성은 거의 관련이 없다. 그리고 로터의 임계속도 이상에서 운전할 때 근본적으로 강성이 없기 때문에 축은 탄성 상태가 되며 실제로 탄성 로터라고 한다. 이러한 상태 하에서 축은 저항이 가장 적은 길을 따른다. 즉 모든 축은 로터의 무게(또는 모멘트)가 균등하게 분포된 축인, 주관성축(Central Principal Axis)이라고 하는 축에 대하여 회전하려고 한다. 그리고 그림 8-32의 로터 무게는 무게 중심에 대하여 균등하게 분포되었고 또한 불평형은 축의 회전 중심으로부터 떨어져 무게 중심에 위치하고 있기 때문에 로터는 탄성에 의해 즉 강성이 없어 휘어질 것이고 따라서 회전축 즉 주관성축은 실제로 무게 중심을 통하여 통과한다. 이런 일이 발생하면 그림 8-32에서 로터 축은 실제로 Heavy Spot로부터 떨어져 휘게됨을 볼 수 있다. 환언하면 임계속도 이상에서 탄성 로터로써 운전할 때 축은 Heavy Spot과 180˚ 반대 방향으로 휠 것이다.

앞서 언급한 위상 문제는 학술적인 것 같이 보일지 모르지만 공진의 이해와 가진력과 그로 인한 진동 운동간에 존재하는 위상 관계에 미치는 공진의 영향이 공진을 정확히 진단하고 공진 문제를 해결하는데 아주 중요한 것임이 분명하다.

그림 8-32의 임계속도 이하에서 운전할 때 로터는 강성 상태가 되고 Unbalance Heavy Spot 쪽으로 휠 것이고, 임계속도 이상에서 운전할 때 로터는 탄성 상태가 되고 주관성축을 따라 회전하려고 할 것이며 Heavy Spot과 반대방향으로 휘게 하려는 힘이 작용한다.

⑩ 총 응답(Total Response)

완전해

- - - - - - - - - - - - - - - - - (121)

여기서

그림 8-32 임계속도 전후의 Unbalance 위치에 따른 로터 응답

 

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