3.2 운동방정식

Equation of Motion

 

만약 힘 F(t)가 그림 8-28에서 보는 바와 같이 점성감쇠의 스프링-질량시스템에 가해진다면 운동방정식은 뉴튼의 제2법칙을 이용하여 구할 수 있다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (105)

이 방정식은 비동차이기 때문에 일반해 χ(t)는 동차해 와 특수해 의 합으로 주어진다. 동차해는 동차방정식

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (106)

해이다. 식 (106)은 시스템의 자유진동을 나타내며 2항에서 언급되었다.

그림 8-28 스프링-질량-댐퍼시스템

 

2절에서 본바와 같이 자유진동은 3개의 가능한 감쇠조건과 모든 가능한 초기조건 하에서 시간이 경과함에 따라 소멸된다. 그러므로 식 (105)의 일반해는 결과적으로 특수해 와 같게되며 정상 상태를 나타낸다. 정상 상태의 운동은 강제함수가 존재하는 한 유지된다. 전형적인 경우에 대한 동차, 특수 및 일반해의 시간에 따른 변화가 그림 8-29에 제시되어 있다.

는 소멸되고 는 어떤 시간의 경과후 가 됨을 볼 수 있다. 감쇠로 인해 소멸되는 운동의 일부분을 과도상태라 한다. 과도운동이 소멸되는 비율은 시스템의 변수 , c 및 m 의 값에 좌우된다. 이 절에서는 과도상태는 생략하고 특수해만 유도한다.

그림 8-29 부족감쇠에 대한 동차, 특수 및 일반해

 

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