2.3 점성 감쇠계의 자유진동

Free Vibration with Viscous Damping

 

2.3.1 運動方程式 (Equation of Motion)

점성감쇠력 F는 속도에 비례하며 다음과 같이 표현된다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (65)

c는 감쇠상수 혹은 점성감쇠계수이며 음의 부호는 감쇠력이 속도방향과 반대임을 의미한다. 점성댐퍼가 있는 1 자유도계가 그림 8-22에 제시되어 있다.

그림 8-22 점성댐퍼가 있는 1 자유도계

 

만약 질량 m 가 평형위치로부터 x 만큼 이동되었다면 뉴튼의 법칙에 따라 다음과 같이 운동방정식이 유도된다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (66)

2.3.2 解 (Solution)

식 (66)의 해를 구하기 위해 다음과 같은 형태의 해를 가정한다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (67)

여기서 c 와 s는 결정되지 않은 상수이다. 이 함수를 식 (67)에 대입하면 다음과 같은 특성방정식을 구하게 된다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (68)

그 근은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - (69)

이 근은 2개의 해를 제시하며

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (70)

식 (66)의 일반해는 두 해의 선형조합으로 주어진다.

임계 감쇠상수와 감쇠비 : 임계 감쇠 는 식 (69)의 근호내에 있는 감쇠상수 c가 0이 되는 것으로 정의한다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (71)

어떠한 감쇠 시스템에서 감쇠비 ζ는 임계 감쇠상수에 대한 감쇠상수의 비로서 나타낸다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (72)

식 (71)과 식 (72)으로부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (73)

(74)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (75)

의 특성 및 식 (75)의 거동은 감쇠의 크기에 좌우된다. ζ=0의 경우는 앞 절에서 설명되었기 때문에 ζ≠0로 가정하고 다음의 3가지 경우에 대해 생각해 보기로 한다.

경우 1 부족감쇠시스템 (ζ<1 혹은 혹은 )

이와 같은 경우 은 음이고 근 는 다음과 같이 표현된다.

식 (75)는 다음과 같이 다른 형태로 표현할 수 있다.

여기서, (χ,ψ) 및는 임의상수이며 초기조건으로부터 결정된다.

초기조건 일 때, 는 다음과 같이 구해진다.

에 t =0을 대입하면

가 되고, 위 식을 미분하면

가 되고 t =0을 대입하면,

가 된다.

를 위 식에 대입하면

가 되고 결과적으로

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (77)

가 된다.

를 원식에 대입하면

- - - - - - - - - - - - (78)

상수 (Χ, ψ) 및 ()는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (79)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (80)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (81)

식 (78)에 의해 표시되는 운동은 각 주파수 의 조화운동이지만 로 인하여 진폭은 시간의 경과와 더불어 지수적으로 감소한다 (그림 8-23).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (82)

는 감쇠진동의 고유 주파수라고 하며 항상 비감쇠 고유진동수보다는 작다.

그림 8-23 부족감쇠의 해

 

감쇠량의 증가에 따른 감쇠 진동 주파수의 감소가 그림 8-24에 나타나 있다.

부족감쇠의 경우가 기계진동의 연구에 있어 가장 중요하며 그 이유는 유일하게 진동운동을 하기 때문이다.

그림 8-24 감쇠의 크기에 따른 ωd의 변화

경우2 : 임계 감쇠 시스템 (ζ=1 혹은 혹은 )

식 (69)에서이므로 2개의 근는 같고

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (83)

이 된다.

중근이기 때문에 식 (68)의 해는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (84)

초기조건를 적용하여

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (85)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (86)

식 (86)에 의해 표현되는 운동은 비주기적이다.

t = ∞이면 ="0"으로 되기 때문에 운동은 결국 그림 8-25에서 나타낸 바와 같이 진폭이 0으로 되어 사라진다.

그림 8-25 감쇠의 형태에 따른 운동의 비교

 

경우3 : 과감쇠 진동시스템 (ζ>1 혹은 혹은)

>0 때문에 는 실수이며

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (87)

초기조건 로부터 가 구해진다. 즉,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (88)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (89)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (90)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (91)

식 (87)로부터 이 시스템에 가해진 초기조건에는 관계없이 주기적인 운동을 함을 알 수 있다. 근 , 는 음이기 때문에 운동은 시간의 경과에 따라 지수적으로 감소하고 사라진다 (그림 8-25).

 

2.3.3 代數 減衰率 (Logarithmic Decrement)

대수 감쇠율은 자유감쇠진동의 진폭이 감소하는 비를 나타낸다. 어떤 2개의 연속되는 진폭의 자연대수비로서 정의된다. 를 2개의 연속되는 진폭에 대응하는 시각을 나타낸다고 하면 각각의 시각에서의 부족감쇠시스템의 진폭은 다음과 같이 된다.

은 임의의 시간 에서의 진동진폭이고 에서의 진동진폭이므로

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (92)

가 된다.

여기서 ( : 감쇠진동의 주기)이다.

와 같게 되므로 식 (92)는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (93)

대수 감쇠율 δ는 식 (93)으로부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - (94)

감쇠가 작을 경우 식 (94)는 간략하게 다음과 같이 나타낼 수 있다.

δ = 2πζ (만약 ζ << 1인 경우) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (95)

그림 8-26은 ζ에 따른 대수 감쇠율 δ의 변화를 보여준다. ζ= 0.3까지의 δ값은 식 (94)과 식 (95)에서 거의 동일한 값을 나타낸다.

대수감쇠율은 무차원이고 실제적으로 무차원 감쇠비 ζ의 다른 형태이다. 일단 δ가 기지의 값이라면 식 (94)로부터 ζ를 구할 수 있다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (96)

만약 식 (94) 대신에 식 (95)를 사용한다면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (97)

그림 8-26 감쇠값에 따른 대수감쇠율의 변화

 

주어진 진동 시스템에서 감쇠값이 알려져 있지 않으면 실험적으로 두 개의 연속되는 변위 를 측정함으로서 구할 수 있다. 의 자연대수비를 취함으로써 δ를 얻을 수 있다.

식 (96)을 사용함으로써 감쇠비 ζ를 계산할 수 있다. 실제적으로는 감쇠비 ζ는 수 개의 사이클에 의해 분리된 처음과 끝의 두 변위를 측정함으로써도 구할 수 있다.

만약 이 시간 에 상응하는 진폭이라면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (98)

어떤 두개의 연속된 변위는 한 사이클에 의해 분리되기 때문에

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (99)

식 (98)은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (100)

식 (100)과 식 (94)로부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (101)

[예제] 부족감쇠의 충격흡수기가 자동차에 설계되었다. 초기진폭은 그림 8-27에서 보는 바와 같이 첫째 반 사이클 동안에 로 감쇠된다. 차의 질량은 500 ㎏이고 진동주기는 1초이다. 충격흡수기에서 필요한 강성 및 감쇠상수를 구하라. 또한, 간극이 250 ㎜라면 시스템의 Rubber Base를 타격하는 최소의 초기속도를 구하라.

그림 8-27

 

[해]

, 이 되며 대수감쇠율

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (102)

식 (102)로부터 ζ=0.4037, 진동주기는 1 sec이므로

임계감쇠상수는

= 2(500) (6.8677) = 6887.7 N•s/m

감쇠상수는

= (0.4037)(6867.7) = 2772.4905 N•s/m

강성은

= (500)(6.8677)2 = 23582.652 N/m

질량의 변위는 시각 에서 최대값을 갖으며

최대점을 통과하는 그림 8-23의 점선의 χ값은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (103)

χ = 250 ㎜이므로 식 (103)은

질량의 속도는 변위를 미분함으로써 얻을 수 있으며

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (104)

t = 0 일 때 식 (104)은

 

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