2.2 비감쇠 비틀림 시스템의 자유진동

Free Vibration of Undamped Torsional System

 

만약, 하나의 강체가 특정한 축에 관해서 진동할 때 결과적인 운동을 비틀림 진동이라 한다. 이 경우에 강체의 변위는 각좌표의 항으로 측정된다. 비틀림 진동 문제에 있어서 복귀 모멘트는 탄성체의 비틀림 혹은 힘이나 짝힘의 불평형 모멘트 때문일 것이다.

그림 8-21은 극관성 질량 모멘트 인 디스크가 원형의 축 한쪽 끝에 설치되어 있고 다른 끝은 고정되어 있다. 축의 중심선에 대해 θ만큼 디스크를 각회전 시킨다 (θ는 축의 비틀림 각도를 나타낸다).

원형축의 비틀림 이론으로부터

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는 비틀림θ를 일으키기 위한 토오크, G는 전단탄성계수, ℓ는 축의 길이, J는 축단면의 극관성모멘트이며

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d 는 축의 직경을 의미한다. 만약, 디스크가 평형위치에서 θ만큼 움직였다면 축은 크기 의 복귀 토오크를 제공한다. 그러므로, 축은 비틀림 스프링으로 거동하고 비틀림 스프링상수는

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그림 8-21 디스크의 비틀림 진동

 

2.2.1 運動方程式 (Equation of Motion)

디스크의 2축에 관한 각운동 방정식은 뉴튼의 제2법칙 혹은 에너지 보존 원리를 사용하여 유도할 수 있다. 디스크의 자유물체 선도를 고려하여 뉴튼의 제2 운동법칙을 적용함으로써 운동방정식을 유도할 수 있다.

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식 (58)은 만약 극관성 질량모멘트, 각 변위θ, 및 비틀림 스프링 상수가 질량 m , 변위 및 선형스프링 상수로 각각 대치된다면 식 (41)과 동일함을 보여준다. 그러므로 비틀림 시스템의 고유각 주파수는

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주기와 진동주파수는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (60)

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이 비틀림 시스템에서 다음의 관점들에 주의하라.

① 디스크를 지지하고 있는 축의 단면이 원형이 아닌 경우는 적절한 비틀림 스프링계수를 이용하여야 한다.

② 디스크의 극관성 질량모멘트는

ρ는 질량밀도, h는 두께, D는 직경, 그리고 W는 디스크의 무게이다.

③ 그림 8-21의 비틀림 스프링-관성시스템은 비틀림 진자로서 언급된다. 비틀림 진자의 가장 중요한 적용중의 하나는 기계식 시계이며 라체트와 폴은 작은 비틀림 진자의 규칙적인 진동을 침의 움직임으로 변환하는 것이다.

 

2.2.2 解 (Solution)

식 (58)의 일반해는 식 (41)의 경우와 같이 구해진다.

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, 는 초기조건

, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (63)

로부터 구해지며

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (64)

로 된다.

식 (62)도 또한 단순조화운동을 나타낸다.

 

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