2.1 비감쇠 병진계의 자유진동

Free Vibration of an Undamped Translational System

 

2.1.1 뉴튼의 運動 第2法則을 利用한 運動方程式
(Equation of Motion Using Newton's Second Law of Motion)

(1) 수평의 스프링-질량 시스템

그림 8-19(a)의 비감쇠 1 자유도계를 생각해 보자. 질량은 마찰이 없는 롤러에 지지되어 있고 수평방향으로 병진운동을 한다. 스프링의 당겨지지 않은 상태의 길이는이다. 질량을 정지상태로부터 의 거리만큼의 위치에 놓으면 그림 8-19(c)에서와 같이 스프링력 를 야기 시킨다. 뉴튼의 제2법칙에 의하면

질량×가속도 = 질량에 가해진 합성력 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (40)

식 (40)을 m 에 적용하면 다음의 운동방정식을 세울 수 있다.

또는 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (41)

에서 -의 의미는 의 힘의 운동방향이 의 힘의 운동방향과 정반대이기 때문에 등호를 성립시키기 위해서 -를 삽입하여야 하기 때문임. 또한 결과적으로 우변의 항을 좌변으로 옮긴 는 χ의 어느 위치에서나 합력은 “0”임을 의미한다. 여기서 는 질량의 가속도이다.

그림 8-19 수평의 스프링-질량시스템

 

(2) 수직의 스프링-질량 시스템

그림 8-20(a)에서 보는 바와 같은 스프링-질량시스템을 생각해보자. 질량 m 은 스프링의 아래쪽 끝에 매달려 있고 스프링의 다른 한쪽 끝은 벽에 고정되어 있다. 정지 상태에서 질량은 정적 평형위치라 불리는 위치에 매달려 있고 위쪽으로 향하는 스프링력이 아래쪽으로 향하는 중력과 정확하게 균형을 이루고 있다. 이 위치에서 스프링의 길이는이며 (는 정적처짐) 질량 m 의 무게 W로 인한 신장량이다. 그림 8-20(a)에서 정적평형인 경우

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (42)

여기서 g 는 중력가속도. 질량이 정적평형 위치에서만큼 움직이면 스프링력은 그림 8-20(c)에서와 같이가 된다. 뉴튼의 운동 제2법칙을 질량 m 에 적용하면

가 되며 -는 앞에서 설명한 바와 같은 의미이고 +W의 의미는 항상 지구 중심방향으로 W의 힘이 스프링에 작용하고 있음을 의미한다. 지구 중력에 의한 W는 항상 지구 중심방향으로 향하기 때문에 와 W는 서로 상쇄된다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (43)

식 (41)과 식 (43)이 동일하다는 것을 알 수 있다. 즉 질량이 수직방향으로 움직일 때는 정적 평형 위치로부터를 측정하기 때문에 무게의 영향을 무시할 수 있다.

그림 8-20 수직방향의 스프링-질량시스템

 

2.1.2 에너지 保存의 原理를 利用한 運動方程式
(Equation of Motion Using the Principle of Conservation of Energy)

식 (41)은 또한 에너지보존의 원리를 이용하여 유도할 수 있다. 이 원리를 적용하기 위하여 우선 감쇠로 인한 에너지 소멸이 없어야 하며 그림 8-19(a)는 보존적이라고 한다. 진동중 시스템의 에너지는 일부가 운동에너지이고 나머지는 위치에너지이다. 운동에너지 T는 그 속도로 인하여 축적되고 위치에너지 U는 탄성변형으로 인하여 스프링에 축적된다. 에너지보존의 법칙에 따라

T + U = 일정 혹은 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (44)

운동 및 위치에너지는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (45)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (46)

식 (45) 및 식 (46)을 식 (44)에 대입하고 미분을 하게되면

 

2.1.3 運動方程式의 解 (Solution of Motion Equation)

식 (41)의 해는 다음과 같이 가정함으로써 구할 수 있다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (47)

C 와 s는 결정되어야 할 상수이며

식 (41)에 대입하면

C 및 는 0이 아니므로

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (48)

가 되고

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (49)

이며

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (50)

식 (48)은 식 (41)의 미분방정식에 대응하는 보조 혹은 특성방정식이라 불린다.

식 (49)에 주어진 s의 두 값은 특성방정식의 근이며 문제의 고유치 혹은 특성치라고 알려져 있다.

s의 두 값은 식 (48)을 만족시키기 때문에 식 (41)의 일반해는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (51)

는 상수이다.

오일러의 공식 를 사용하여 식 (51)을 다시 쓰면

- - - - - - - - - - - - - (52)

는 새로운 상수이다. 상수 혹은는 시스템의 초기조건으로부터 결정되다. 만약, 변위 및 속도 가 t =0에서 로 주어지면 식 (52)로 부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (53)

그러므로, 이 된다. 식 (53)의 초기조건에 좌우되는 식 (41)의 해는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (54)

식 (52)는 다음과 같은 표현을 도입함으로써 다른 형태로 나타낼 수 있다.

여기서 A 및 ψ는 새로운 상수이며 의 항으로 표시될 수 있다.

= 진폭

= 위상각

이를 식 (52)에 대입하면 그 해는

[예제] 10 ㎏의 질량을 매달 때 스프링-질량시스템이 10 rad/s(약 1.6 ㎐)의 진동수를 갖도록 헬리컬 스프링을 설계하여라.

[해] 고유진동수의 정의로부터 스프링은 강성이

이 되어야 한다. 헬리컬 스프링의 강성은

이 된다. 위의 식은 어떠한 설계를 하기 위한 출발점이 된다. 선택할 수 있는 것은 사용할 재료(즉, 여러 가지 값의 G), 재료의 직경 d, 코일의 반지름 R, 그리고 감은 수 n 등이다. G와 d 는 물론 얻을 수 있는 재료에 의해 제한되고 n은 정수가 되도록 제한되며, R은 기기의 크기에 따라 요구사항에 의한 제한을 받을 수 있다. 여기서 1 ㎝ 직경의 강철을 사용할 수 있다고 가정한다. 강철의 전단탄성계수는 약

이 되므로 강성공식은

이 된다. 코일의 반지름을 10 ㎝로 선택하면 감은 수는

이 되어야 한다. 그러므로 1 ㎝ 직경의 강철을 반경 10 ㎝로 13회 감으면, 스프링은 원하는 강성을 갖고 10 ㎏의 질량은 약 10 rad/s로 진동할 것이다.

 

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