1.2 스프링 요소

Spring Elements

 

선형의 스프링은 일반적으로 무시할만한 질량과 감쇠를 갖고있는 것으로 추정되는 일종의 기계적인 링크이다. 스프링의 양단 사이에 상대적인 운동이 있으면 스프링에는 힘이 발생된다. 스프링력은 변형량에 비례하고

F = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)

로 주어진다.

여기서 F는 스프링력, χ는 변형 (한쪽 끝을 기준하여 다른 한쪽 끝의 변위), 그리고, 는 스프링 강성 혹은 스프링 상수라고 하는 비례상수이다. 만약 에 대한 F를 그래프로 나타내면 식 (1)에 따라 직선이 된다. 스프링의 변형을 위해 가해진 일은 스프링에서 변형 혹은 위치에너지로 축적된다. 실제 스프링은 비선형이고 식 (1)은 변형의 어떤 범위 내에서만 유효하다. 변형이 어떤 값을 초과하면 (그림 8-6의 A점 이후), 응력은 후크 법칙의 비례한도를 초과하고 변형은 더 이상 가해진 힘에 비례하지 않는다. 대부분의 실제 적용에 있어서는 변형이 적다고 가정하고 식 (1)의 선형관계를 사용한다. 스프링의 힘-변형 관계가 비선형이더라도 때때로 선형화라고 알려진 과정을 사용하여 선형으로 개략화한다.

그림 8-6 비례한도를 초과한 비선형

 

그림 8-7과 같은 비선형의 힘-변형 관계를 갖는 스프링을 생각해보자. 먼저 힘 Fo를 가하면 만큼 변형한다. 이 위치에서 평형상태를 유지하고 스프링 반력은 -Fo와 같다. 이 상태에서 힘 ΔF를 더 가하면 Δχ 만큼 더 변형하고 가 된다.

그림 8-7 선형화 과정

 

함수 F는 에 대한 Taylor의 급수 전개를 이용하여 전개할 수 있다.

- - - - - - - - - (2)

Δχ는 작기 때문에 높은 계수의 항목은 무시할 수 있고 식 (2)는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3)

이기 때문에

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4)

식 (4)는 바람직한 선형관계이고 스프링상수 k 는 F = F(χ)의 미분으로 구해지며 평형위치 에서 평가된 것이다. 식 (4)는 단순화의 목적으로 사용할 수 있으나 때때로 개략화의 가정 중에 포함된 오차가 상당히 커질 수 있다.

스프링상수(강성계수)란 부품이나 구조물을 어떤 거리만큼 휘거나 변형시키는데 필요한 힘이라고 간단히 정의할 수 있다. 강성의 단위는 통상 N/m으로 나타낸다. 예를 들면 코일 스프링 위에 100 N의 무게를 올려놓았을 때 0.01 m의 처짐을 가져오면 스프링 강성 즉, "" 계수는 10000 N/m이다. 또한 시스템에 대한 강성 즉, "" 계수를 알면 실제의 강성력은 그 결과로 생기는 변위에 직접 비례한다. 따라서 강성은 시스템의 비례함수인 변위와 연관되며 진동주파수와는 별개임을 알 수 있다.

보와 같은 탄성요소도 스프링과 같이 거동한다. 예를 들면 그림 8-8과 같이 끝에 질량 m 이 있는 내다지보를 생각해보자. 간단하게 질량 m 에 비해 보의 질량은 무시할 만 하다고 가정한다. 이 보의 자유단에서의 정적처짐이

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)

W = mg 에서 W는 질량 m 의 무게, E는 Young 계수, I는 단면관성 모멘트이다. 즉, 스프링상수는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(6)

그림 8-8 내다지보

 

1.2.1 스프링의 組合 (Combination of Springs)

실제 적용에 있어서는 다수의 선형 스프링이 복합되어 사용된다. 이러한 스프링들은 다음에서 나타난 바와 같이 하나의 상당 스프링으로 조합할 수 있다.

그림 8-9 스프링의 조합

 

경우(1) : 병렬 스프링

그림 8-9(a)와 같이 스프링이 병렬로 되어 있으면

(7)

는 질량 m 의 정적처짐이다. 만약, 를 두 스프링의 조합에 의한 상당 스프링상수라면 같은 정적처짐에 대해

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (8)

식 (7)과 식 (8)로부터

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (9)

일반적으로 스프링상수 , , … 을 병렬로 구성된 개의 스프링에 대해서는 상당스프링 상수가

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (10)

경우(2) : 직렬 스프링

다음은 그림 8-9(b)와 같이 직렬로 연결된 2개의 스프링을 생각한다.

2개의 스프링은 같은 힘 W에 종속되어 있기 때문에 평형상태에 대해

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (11)

는 스프링 1과 2의 변형량이다. 총 변형량은 정적처짐와 동일하다.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (12)

만약 가 상당 스프링 상수를 나타낸다면 같은 정적처짐에 대해

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (13)

식 (11)과 식 (13)으로부터

혹은

, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (14)

를 식 (12)에 대입하면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (15)

식 (15)를 일반화하면

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (16)

 

[예제] 그림 8-10(a)와 같이 무게 W가 천장 크레인에 의해 인양된다. Girder는 길이 , 굽힘 강성계수 EI를 갖는 균일보이고 두 케이블의 각각의 길이는, 직경 d 및 영계수 E이다. 트롤리, 전동기, 케이블 및 후크의 질량은 무시할 만 하다고 가정하고, Girder와 케이블의 상당 스프링 상수를 구하라.

[해] Girder를 단순히 어떤 부하를 지지하는 보로 생각하면 그 스프링 상수는

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (17)

케이블은 길이 방향의 부하를 받기 때문에 각 케이블의 강성은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (18)

 

두 개의 병렬 케이블의 총강성은 이다. 결국, Girder와 케이블은 직렬 스프링으로 간주할 수 있고 상당 스프링상수

혹은

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (19)

그림 8-10 천정 크레인

 

TRAC Mark INCOSYS