1.8.5 대역폭 검토에 의한 진폭 정밀도 향상

Improving the Amplitude Accuracy by Checking the Bandwidth

앞의 기법은 두 주파수가 하나의 대역폭 내에 있는 경우에는 사용이 제한된다. 예를 들어 2극 전동기가 3590 rpm으로 회전하는 경우 60,000 cpm 주파수 범위를 택하면 48번째 Line(또는 Bin)은 2×RPM(7180 cpm)과 2×전원계통 주파수(7200 cpm)를 포함한다. 이 경우에는 Peak 진폭과 주파수 값의 내삽 계산을 불가능하게 한다(실제 두개 또는 세 개의 주파수가 한 개의 Bin 또는 두개의 Bin 내에 있을 때 주파수 내삽 기법을 적용할 수 없다).

이 경우 표시된 fp(이 경우에는 7200 cpm)와 이웃한 최고 Line 보다 많은 수의 진폭을 조사하여야 한다. 실제로 fp의 양쪽 두개씩의 Bin을 조사하여야 한다. 이러한 알고리즘은 많이 이용된다.

1.5.1과 1.5.2 항에서 Fourier 변환에 관여하는 수학은 입력 데이터가 주기적인 것을 가정한 것을 상기하자. (다시 말하면 입력 주기의 정수배 데이터가 제공되어야 한다.) 이러한 경우는 극히 드물다. 대신 변환에 제공되는 데이터는 일반적으로 비주기적 입력 데이터이다. 윈도우가 없으면 FFT는 한 샘플의 끝과 다음 샘플의 시작점 사이에 불연속을 발견하여 관심있는 주파수 주변에 Sideband로 나타나는 여분의 주파수 성분을 추가로 계산한다. 이러한 여분의 주파수 계산은 “Spectral Leakage”로 알려져 있다.

앞 항에서 시간 샘플(FFT 알고리즘에 투입되는 시간영역 데이터의 틀)에 윈도우를 곱해주어 하나의 시간 샘플의 끝과 다음 시간 샘플의 시작점 사이의 과도점을 평탄하게 하여 Spectral Leakage를 줄여준다. 1.5.3 항에서 가장 일반적으로 사용되는 것이 Hanning 윈도우(이것은 또한 Cosine 제곱 윈도우라고도 알려져 있다. 이것은 양 끝단에서는 크기가 0이 되며 중앙에서는 크기가 1이 된다.)이었던 것을 상기하자. 다시 말하자면 FFT는 샘플된 데이터의 가운데 부분에 중점을 둔다. 그러나 Hanning 윈도우를 사용하더라도 신호 주기의 정수배가 아닌 샘플에 FFT를 수행하면 얼마간의 Leakage가 있게 된다. 이것은 신호의 주파수 성분이 주파수 스펙트럼의 하나의 Line(Bin)에 정확하게 대응되지 않음을 의미한다.

예를 들어 Hanning 윈도우는 하나의 정현파를 세 개의 스펙트럼 Line으로 퍼지게 하는 반면에 윈도우를 사용하지 않으면 하나의 정현파는 하나의 스펙트럼 Line으로 나타난다. 비록 윈도우가 Spectral Leakage를 감소시키지만 여전히 퍼짐 현상을 가져오며 임의의 신호가 주파수 선과 정확하게 일치하지 않을 때에는 진폭감소를 가져온다.

이 현상은 문제를 야기한다. 만약 한 개의 정현파가 세 개(또는 네 개)의 선으로 퍼지면 두 주파수(서로 가깝게 이웃해 있는)를 분리하여 표시할 수 있는 가장 좁은 대역폭을 실제로 어떻게 결정해야 하는가?

다음 계산은 지금까지 제시한 것을 좀 더 개선하기 위한 것이다. 이 시점에서 우리는 주파수 영역을 FFT Line 수로 나눈 주파수 분해능의 정의를 잘 안다. 다음으로 필요한 것은 주파수 분해능 또는 “대역폭”을 다음과 같이 윈도우 Factor를 도입하여 변형하는 것이다.

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여기서

Bandwidth = 대역통과 필터가 신호를 3 dB(평탄한 반응의 70.7% 아래)

감쇠 시키는 주파수 사이의 폭. 두개의 각 주파수는 실제

“Peak” 진폭을 갖고 FFT 스펙트럼 상에서 적어도 하나의

대역폭을 분리하도록 하여야 함.

Window Factor = 유효 잡음 대역폭

= Hanning 윈도우의 경우 1.5

= Uniform 윈도우의 경우 1.0

= Flattop 윈도우의 경우 3.6~4.1(분석기에 따라 다름)

 

만약 윈도우를 사용하지 않으면(Uniform 윈도우), 윈도우 Factor로 1.0을 사용하며 Hanning 윈도우를 사용하면 윈도우 Factor는 1.5가 된다. 만약 분석에 다른 윈도우를 사용하면 식 (7) 주파수 보정 Δfc의 계산과 식 (8) 내삽 진폭 AI의 계산의 결과가 변하게 된다. 이 논의를 간단하게 하기 위해 Hanning 윈도우의 윈도우 Factor에 초점을 맞추기로 한다.

분해능에 1.5를 곱하면 주파수 분해능을 그대로 사용하는 것에 비해 대역폭이 1.5배 커진다. 수학적으로 이것은 사실이다. 그러나 이 예제의 목적을 잊지 말아야 한다. 서로 근접한 두개의 주파수를 분리해서 표시하기 위해 사용되는 가장 좁은 주파수 대역을 결정하기 위한 것이 이루어졌다. 이것은 Hanning 윈도우를 사용함으로써 신호가 하나의 Line 대신 세 개의 스펙트럼 Line으로 분리되는 것을 보상하는 것을 의미하였다. 특히 Database를 확립할 때 두개의 근접한 주파수가 있는 것을 알고 있다면 우리가 결정하고자 하는 것은 두 주파수를 표시하기 위한 최대 대역폭이 얼마인가 하는 것이다. 이것은 AC 유도 전동기의 해석에 특별히 적용된다. 1×RPM 또는 2×, 3×, 4×, 5×RPM 고조파 Peak의 주변에 근접한 Pole 통과 주파수 Sideband의 존재는 부러지거나 금이 간 회전축 또는 Shorting Ring에 높은 저항 연결부가 있는 것을 강하게 암시한다. 또한 2극 전동기의 경우 2×RPM은 7200 cpm(2×FL) Peak에 매우 근접하게 된다. 또는 4극 전동기의 경우 4×RPM Peak는 7200 cpm Peak에 매우 근접하게 된다.

대부분의 선택된 주파수 영역에 대해 분석기는 두개의 주파수를 분리해서 표시하지 않으며 위의 예에서와 같이 하나의 주파수만 표시한다. 두개의 근접한 주파수를 분리하기 위해 FFT Line의 수를 증가시키거나 주파수 영역을 줄이거나 또는 “Zoom” 스펙트럼을 이용한다.

이 기법은 그림 6-29에서 보는 것과 같다. 그림 6-29A는 Centrifugal Air Compressor를 구동하기 위한 2극 AC 전동기의 스펙트럼이다. 측정점은 전동기의 Inboard 베어링이다. 분석기에서 FMAX는 30,000 cpm이며 400 Line의 해상도를 이용하였다. 따라서 분해능은 75 cpm/line이다. 이 값에 1.5를 곱하면 대역폭은 112.5 cpm이 된다. 모든 Peak가 112.5 cpm 보다 멀리 떨어져 있다. 이 경우 이들 Peak는 회전속도 3600 cpm (1×RPM에 근사)의 고조파들이다. 실제로 이 특정 전동기는 원래부터 Mechanical Looseness를 갖고 있는 것으로 진단되었다.

그러나 이에 대한 추가 해석이 이루어졌다. 실시간 분석기를 이용하여 주파수 영역을 6000 cpm으로 하고 Cursor는 1×RPM에 두었으며 Zoom을 이용하였다. 그림 6-29B는 Zoom 결과의 스펙트럼으로서 600 cpm의 대역폭에 400 Line의 해상도를 갖고 있다. 분해능은 1.5 cpm/line이며 대역폭은 2.25 cpm이다. 이 경우 Pole 통과 Sideband가 1×RPM Peak 주변에 있는 것을 명확하게 볼 수 있다. 더욱이 전원 계통주파수(FL=3600 cpm) 역시 존재한다. 그림 6-29A에서는 이들 Peak는 분명하지 않다.

마찬가지로 그림 6-29C는 2×RPM Peak 근처에서 Zoom된 스펙트럼이다. 주파수 영역은 12,000 cpm이며 1200 cpm(12,000 cpm의 10%) 대역에 대한 Zoom을 취하였다. 따라서 분해능은 3 cpm/line이며 대역폭은 4.5 cpm이다. 역시 2×RPM 주변에 Pole 통과 주파수를 명확하게 볼 수 있다. 이들 Peak 역시 그림 6-29A에서는 분명하지 않다.

똑같이 그림 6-29D는 3×RPM Peak 근처에서 Zoom된 스펙트럼이다. 이 경우 분해능은 3 cpm/line이며 대역폭은 4.5 cpm이다. 두개의 Pole 통과 주파수 집단을 볼 수 있으며 세 번째 것이 나타나기 시작한다. 진폭은 0.007 in/sec에서 0.051 in/sec까지 변한다. 이 전동기는 전기적인 문제를 가지고 있는가 또는 가지고 있지 않은가?

만약 0.012~0.015 in/sec 이상의 진폭을 갖는 Pole 통과 주파수(FP)가 회전속도의 3 또는 4배 고조파 주변에 있을 경우에 일반적으로 전동기는 심각한 문제를 가지고 있는 것으로 받아들인다. 그러나 만약 대역폭을 처음에 고려하지 않았다면 어떻게 이들 Pole 통과 주파수를 볼 수 있는가?

왜 대역폭에 대한 고려를 하여야 하는 가에 대한 몇 가지 이유가 있다. 대역폭 계산에 숨겨진 가장 두드러진 목적은 Pole 통과 주파수와 같이 근접한 두개 또는 그 이상의 스펙트럼 Peak를 명확하게 구분하기 위한 충분한 주파수 간격이 있다는 것을 확인하기 위한 것이다. 다른 이유는 - 덜 중요하지만 - 기본 주파수와 관련있는 Sideband의 진폭이 종종 결함 또는 문제의 심각성을 결정하는 “척도”로 이용된다는 것이다. 따라서 충분한 분해능과 대역폭이 Sideband 주파수를 표시하여 그들의 진폭을 표시하는 것이 중요하다. Zoom 해석과 결합하여 이 기법은 분석자로 하여금 모든 필요한 스펙트럼 Peak를 나타내도록 한다.

그림 6-29 균열 또는 깨진 Rotor Bar나 Shorting Ring 문제를 가지고 있는 전동기의 Wideband 및 Zoom Spectra.

 

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