1.5 윈도우의 선택

Window Selection

 

1.5.1 윈도우의 必要性 (The Need for Windowing)

만약 시간기록에서 정현파가 주기적이면, 윈도우를 사용하지 않았을 경우 이의 주파수 스펙트럼은 하나의 FFT Line으로 주어진다. 그러나 시간기록에서 정현파가 비주기적이면 이의 파워는 스펙트럼에서 퍼지게 된다. 주파수 스펙트럼 영역에서 이와 같이 에너지가 퍼지는 것을 “누설(Leakage)”이라고 한다. FFT의 한 Line의 에너지가 다른 Line으로 누설된 것을 그림 6-4에서 볼 수 있다.

그림 6-4 시간 기록에서 정현파가 비주기적일때 누설이 일어나고 잔여 스펙트럼에 영향을 미친다.

 

그림 6-4에서 보듯이 Leakage 문제로 인해 정현파 근처에 있는 작은 신호가 완전히 묻힐 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방법이 “윈도우”를 이용하는 것이다.

대부분의 문제는 시간기록의 양 끝단에 있는 것처럼 보이는 것에 유의하자. 가운데 부분은 좋은 정현파이다. 만약 FFT가 시간기록의 양 끝단 부분을 무시하고 가운데 부분에 중점을 둔다면 주파수 영역에서의 스펙트럼은 한 개의 선에 가깝게 나타날 것이다. 윈도우가 이러한 일을 수행한다 - 즉 윈도우는 샘플링된 데이터의 첫 부분과 끝 부분을 0으로 놓아 Leakage를 최소화한다.

1.5.2 윈도우란 무엇인가? (What is Windowing ?)

만약 시간기록의 양 끝 부분을 0으로 하고 가운데 부분을 크게 해주는 함수와 곱해 준다면 FFT는 시간기록의 중심부에 중점을 두게 된다. 이러한 함수의 하나가 그림 6-5A(c)에 주어져 있다. 이러한 함수는 마치 좁은 창(윈도우)을 통해 데이터를 보는 것과 같기 때문에 이를 “윈도우 함수”라고 한다. 그림 6-5A(c)와 같이 “Hanning” 윈도우를 적용하면 불연속점이 “채워지기” 때문에 그림 6-5A(d)에서와 같이 샘플링된 신호는 마치 연속적인 것처럼 나타난다. 따라서 샘플링된 데이터는 0에서 시작하여 0으로 끝나게 된다. 그림 6-5B는 한 주기의 파형에서 비주기성을 갖는 시간기록을 보여준다. 그림 6-5B(b)에 (Hanning) 윈도우를 취하면 비주기적 파형이 “주기적”인 것처럼 “나타난다.”

그림 6-5A 시간영역에서 Window 의 영역


그림 6-5B Window를 취하면 비주기적 파형이 주기적인 것처럼 나타나게 하는 것을 보여주는 간략화 도면.

그러나 입력 데이터가 윈도우에 의해 변화되기 때문에 완전한 결과를 기대하기가 어렵다. FFT는 입력이 그림 6-5A(d)와 같이 마치 진폭 변조된 정현파로 가정하게 된다. 이것은 그림 6-5A(b)의 스펙트럼보다는 한 개의 Peak에 좀 더 가까운 주파수 스펙트럼을 주게 되지만 아직도 100% 정확한 결과가 아니다. 비록 그림 6-6이 시간기록에서 비주기적인 것을 윈도우를 사용함으로써 많이 개선된 결과를 보여 주지만, 실제로 존재하지 않는 스펙트럼 성분(또는 Sideband)를 나타내기 때문에 정확한 것이 아니다. 6-7은 시간기록에서 주기적인 신호에 윈도우를 사용하지 않았을 때의 스펙트럼 보다 윈도우를 사용하였을 때의 스펙트럼이 넓은 것을 보여준다.

a) Sine wave not periodic in time record

b) FFT results with no window function

c) FFT results with a window function

그림 6-6 Window를 씌움으로써 Leakage가 감소됨.

 

a) Leakage free measurement - Input periodic in time record

b) Windowed measurement - Input not periodic in time record

그림 6-7 Window를 씌움으로써 Leakage는 감소되나 제거되지는 않음

 

1.5.3 Hanning Window

진동 해석에서 가장 널리 이용되는 것이 Hanning 윈도우이다. 실제로 그림 6-5에서 사용한 것이 Hanning 윈도우이다. Hanning 윈도우는 주기적이거나 비주기적인 정현파에 대해서는 잘 적용이 된다. 그러나 Hanning 윈도우를 사용하더라도 시간기록이 비주기적인 신호일 때는 약간의 Leakage가 있게 된다.

FFT는 일련의 병렬 필터로써 작용하는 것을 상기하자. 그림 6-8은 Hanning 윈도우를 사용하였을 때 이들 필터의 형태를 보여준다. Hanning 함수는 꼭대기가 둥근 모양을 갖는 것에 유의하자. 만약 입력신호의 한 성분이 필터의 중앙에 위치하면 이의 진폭은 정확하게 측정될 것이다. 반면에 신호의 성분이 필터와 필터의 가운데 놓일 경우 1.5 dB(-16%)까지의 감쇠를 가져온다.

그림 6-8 Hanning Window Passband Shapes

이를 보기 위해 다음과 같은 예를 살펴보자.

Induction Motor Speed = 1785 rpm

FMAX = 12,000 cpm

No. FFT Lines = 400 Lines (Hanning 윈도우)

Freq. Resolution = 30 cpm/line (1785 Rpm은 1770과 1780 cpm Bin의 가운데 위치하며 이는 실제 진폭보다 16% 낮은 진폭 값을 읽는 것을 의미함).

만약 FMAX = 6,000 rpm이면, 1785 rpm은 Bin의 중앙에 놓이게 되어 진폭값을 읽는데 감쇠가 없음을 의미. 따라서 Hanning 윈도우를 사용하면 진폭 측정에서 항상 실제 값보다 0%에서 16%의 오차를 갖게 된다.

다시 말하자면 Hanning 윈도우는 주파수 분해능을 향상시키지만 진폭 정밀도를 낮춘다. 따라서 Hanning 윈도우는 그림 6-9a에서 보는 바와 같이 Impact Test와 같은 과도신호로부터는 정보를 잃는다. 만약 그림 6-9b와 같은 Hanning 윈도우를 과도 입력신호에 곱해주면 그림 6-9a와 같이 크게 왜곡된 신호를 발생시킨다. 그림 6-10은 실제 과도신호에 Hanning 윈도우를 사용한 경우와 사용하지 않은 경우의 주파수 스펙트럼을 보여준다. 스펙트럼 영역에서 에너지가 분포되어 있는 과도신호를 Hanning 윈도우는 마치 정현파의 그것과 같이 만들어 준다.

그림 6-9 Hanning Window를 사용하면 과도 신호로부터 정보를 잃는다.

 

a) Unwindowed Transient

b) Hanning Windowed Transient

그림 6-10 Hanning Window를 사용한 경우와 사용하지 않은 경우의 과도신호의 스펙트럼.

 

1.5.4 Uniform(Rectangular) Window

Hanning 윈도우는 과도진동에는 적용되지 않기 때문에 모든 시간기록에 대해 똑같은 비중을 두는 Uniform 윈도우(윈도우가 없는 것)를 사용한다. 과도진동의 경우 시간기록 내에서 과도현상이 완전히 종결되기 때문에 분석기는 입력신호에 대한 윈도우를 필요로 하지 않는다. 이것을 “Self-Windowing Function”이라고 한다. 이것은 FFT에서 Leakage를 발생시키지 않으며 윈도우가 필요하지 않다. Uniform 윈도우는 Impact에 의한 고유진동수 시험에 매우 유용하다. 반면에 Uniform 윈도우를 비주기적 정현파에 사용하면 스펙트럼에서 Leakage 또는 퍼짐 현상을 제거할 수 없다. 더욱이 Uniform 윈도우의 경우 진폭변화는 36%까지 된다.

1.5.5 Flattop Window

Hanning 함수는 위가 둥근 모양을 하고 있다. 이러한 특성이 주파수 Peak를 식별하는데 필요하지만 신호의 진폭을 정확하게 측정하는 데는 적합하지 않다. 이에 대한 해법은 그림 6-11에서와 같이 윗부분이 평평한 대역통과 필터 특성을 갖는 윈도우 함수를 이용하는 것이다.

이 윈도우를 이용할 경우 진폭 오차는 0.1 dB(1%)를 넘지 않는다. 정밀도의 향상은 다른 대가를 지불한다. 그림 6-12는 대역통과 필터의 윗부분이 평평한 대신 대역폭이 넓어진 것을 보여준다. 따라서 큰 성분 근처에 있는 작은 신호를 분해하는 능력을 상실한다.

다른 많은 윈도우 함수가 가능하지만 위에 언급한 세 가지가 일반적인 측정에서 가장 보편적으로 사용되고 있다. 요약해서 말하자면 Flattop 윈도우는 진폭 측정에 가장 적합하며 Kaiser-Bessell 윈도우는 주파수 분리에 가장 적합하다. 반면에 Hanning 윈도우는 이들 둘을 가장 적절하게 절충한 것이다.

그림 6-11 Flat-top Passband Shapes

 

그림 6-12 Hanning과 Flattop Window의 주파수 분해능 비교

 

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