3. 적분

Integration

 

적분은 가속도를 속도로, 속도를 변위로 환산할 때 이용하는 수학적 처리 과정이다. 임의의 가속도로부터 속도와 변위를 구하려면 가속도 스펙트럼 성분에 단위 주파수 변화분의 역(한번 적분)과 제곱의 역(두 번 적분)을 곱함으로써 얻을 수 있으며, 곱하고자하는 주파수 변화분의 단위는 2배, 4배 10배 등으로 선택하는 데 따라 달라진다.

그림 5-16은 최고치가 1g인 일정한 가속도에 대하여, 속도와 변위를 구한 수학적 처리(적분) 결과를 보여주고 있다.

이러한 정보는 일반적으로 그래프로 나타내고 있지만, 몇 개의 관심있는 부분의 스펙트럼에 대한 정보는 그래프보다 표에서 훨씬 더 잘 나타낼 수 있다. 즉 주파수가 2배 증가하면, 속도와 변위는 각각 1/2과 1/4로 감소됨을 쉽게 알 수 있다.

전술한 데시벨(dB) 개념에서, 6 dB과 12 dB의 감속비에 대하여 고찰해 보면, 한번 적분과 두 번 적분은 각각의 기울기가 6 dB/Octave와 12 dB/Octave인 직선상에 위치한 한 요소와 주어진 주파수의 곱임을 알 수 있다.

Frequency, ㎐ Velocity, in/sec Peak Ratio Displacement, mils Peak-to-Peak Ratio
12.5 4.92 2.0 125 -
25 2.45 2.0 31.3 4.0
50 1.23 2.0 7.8 4.0
61.4 1.0 - 5.2 -
100 0.6 2.0 1.96 4.0
140 0.44 - 1.0 -
200 0.31 2.0 0.49 4.0
400 0.15 2.0 0.12 4.0

그림 5-16 일정한 가속도 1g에 대한 속도와 변위값

 

그림 5-16은 또한 Zero 입출력비나 영국 단위계에서의 1g와 속도 1 in/sec(61.4 ㎐)와 같아지는 교차점과 1g가 변위 1 mil(140 ㎐)과 같아지는 교차점을 보여준다. 미터 단위계에서 가속도와 속도, 가속도와 변위가 같아지는 교차점은 각각 1,560 ㎐(㎜/s), 705 ㎐(㎛)이다.

또한 주파수가 감소함에 따라 1g의 가속도에서 변위값이 급격히 증가하는 것을 주목하라. 이러한 증가는 변위가 가속도와 주파수 제곱의 역수와의 곱이란 관계 때문이며, 매우 낮은 주파수에서 두 번 적분할 때 문제를 발생시킬 수 있다. 더 자세히 설명하기 위하여 주파수를 20 Octave 더 감소시켜 3.125 ㎐까지 감소시켜 보자. 이점에서 1g의 가속도에 해당하는 변위는 약 2.0 in, 또는 2,000 mils (51 ㎜)에 달한다. 사람들이 의문을 가지는 것과 마찬가지로 적분 과정이 Zero 주파수까지 계속될 수 없는데 이것은 무한한 증폭을 요구하기 때문이다. 낮은 주파수대에서는 이러한 증폭 문제 때문에 적분기는 미리 설정한 주파수 이하의 신호를 감쇠 시키는 High-Pass Filter를 갖추어야 한다. 가속도 변환기를 사용하는 기계에서 두 번 적분하기 위한 필요 조건은 주파수를 더 낮추어야 하는 것이기 때문에, 실제로 기계 상태를 지시하는 것이 아닌 구조적 진동이나 지진의 운동에 의해 발생하는 신호가 신호 변환기에서 검출되고, 적분되는 과정에서 크게 증폭되는 저주파 신호를 제거하기 위해서는 High Pass Filter의 대역폭은 아주 정확하여야 한다.

이것을 설명하기 위해서 1 ㎐(60 cpm)에서 약 100 mils(2,450 ㎛)의 구조적 진동을 가지고 있는 Fan과 같은 기계에서 10 ㎐(600 cpm)에서 10 mils(254 ㎛)정도의 진동 측정치를 살펴보자. 원하는 측정치를 얻어내고 잡음(Noise)을 제거하기 위하여, 만일 잡음을 측정하고자하는 신호 성분의 10% 이하까지 감쇠 시켜야 한다면, 입력되는 신호는 10에서 5 ㎐ 사이인 1 Octave에서 계수 100까지 감쇠 되어야만 한다. 이렇게 감쇠 시키려면 40 dB/Octave의 Filter가 필요하다. 그러나 이렇게 기울기가 급한 필터는 구하기가 쉽지 않다. 보통의 상황은 기술한 것만큼 심각하지는 않지만 매우 낮은 주파수까지 두 번 적분할 때 생기는 잠재적인 문제에 대하여 알고 있어야 한다. 이러한 예문들은 낮은 주파수에서 진동 신호를 적분할 때 일반적으로 관측되는 “Ski Slope” 모양의 원인을 설명하고 있다.

이러한 문제가 생기는데도 도대체 왜 진동 신호를 적분하는 것일까? 가장 중요한 것은 적분을 함으로써 복잡한 진동 신호 중에서 강조하고 싶은 부분을 이동시킬 수가 있다는 것이다. 주파수 제곱의 관계 때문에 높은 주파수에서는 가속도 신호가 두드러질 것이다. Balancing이나 축정렬과 같은 일반적인 상태를 평가하기 위하여 운전 속도 근방으로 주파수를 낮추어 강조하는 부분을 이동시키기 위해서는 가속도 신호를 속도값으로 적분하는 것이 타당하다고 할 수 있다 (그림 5-17). 덧붙여 말하면 케이싱 진동을 지진계식 감지기로 측정할 때 가장 정확한 상태 지시계로 일반적으로 인정되는 수용 기준은 약 10 ㎐에서 1,000 ㎐ (600 cpm에서 60 kcpm)까지 일정한 속도값으로서 표현되는 것이어야 한다는 것이다.

어떤 시스템에서는 냉각 Fan과 같이 저속 기계를 감시할 때 변위값을 얻기 위하여 두 번 적분되어야 하는 가속도 변환기로 사용할 필요가 있는 경우가 있다. 경험상으로 비추어 볼 때 낮은 주파수의 구조적 가진력이 거의 항상 문제를 생기게 하기 때문에 이것은 부적합하며 속도값이 더욱 안정된 측정값을 제공하며 더 양호한 상태 지시를 할 수 있다.

그림 5-17 속도와 변위로 적분된 가속도 신호. 가속도가 스펙트럼의 고주파수 부분을,
속도는 중간 주파수 부분을, 변위는 낮은 주파수 부분을 얼마만큼 강조하는가를 주목하라

 

TRAC Mark INCOSYS